Ici, nous introduisons principalement la notation binaire.
Binaire
Dans la célèbre bibliothèque Schlossbiliothke zu Gotha (Schlossbiliothke zu Gotha) à Turingen, en Allemagne, il y a un précieux manuscrit avec le titre : "1 et 0 , L'origine miraculeuse de tous les nombres. C'est un merveilleux exemple du secret de la création, car tout vient de Dieu."
Il s'agit du maître de génie allemand Leibniz (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716) Écriture manuscrite. Cependant, Leibniz n'a que quelques pages de descriptions extrêmement concises de ce merveilleux système numérique. En utilisant des mots familiers aux gens modernes, nous pouvons expliquer le binaire comme suit :
2^0 = 1
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 16
2^5 = 32
2^6 = 64< /p>
2^7 = 128
Etc.
Ajoutez les nombres à droite du signe égal pour obtenir n'importe quel nombre naturel. Il suffit d'expliquer : le nombre de carrés de 2 est utilisé, et le nombre de carrés de 2 est écarté. La séquence de représentation binaire commence à droite, le premier chiffre est de 2 à la puissance 0, le deuxième chiffre est de 2 à la puissance 1, le troisième chiffre est de 2 à la puissance 2..., et ainsi de suite. Toutes les positions carrées de 2 sont utilisées, nous utilisons "1" pour marquer, et toutes les positions carrées de 2 sont supprimées, nous utilisons "0" pour marquer. De cette façon, nous obtenons la séquence suivante :
1 1 1 0 0 1 0 1
2 à la puissance 7
2 à la 6ème puissance< /p>
La 5ème puissance de 2
La 4ème puissance de 2
La 3ème puissance de 2
La deuxième puissance de 2
2 à la 1ère puissance
2 à la puissance 0
128+64+32+0+0+4+0+1=229
< p> Dans cet exemple, le nombre décimal "229" peut être exprimé sous la forme binaire "11100101". Le bit le plus à gauche de tout nombre binaire est "1". De cette façon, toute la suite de nombres naturels exprimée par les dix nombres 1 à 9 et 0 peut être remplacée par les deux nombres 0 et 1. Les deux nombres 0 et 1 sont facilement électroniques : il y a un courant est 1 ; il n'y a pas de courant est 0. C'est le secret fondamental de toute la technologie informatique moderne.Potins
Lorsque ce manuscrit fut achevé, Leibniz avait cinquante ans. Il ne fait aucun doute qu'il est l'inventeur de ce binaire qui est à la base de la technologie informatique moderne. D'ailleurs, avant ou en même temps que lui, personne ne semblait avoir pensé à ce problème. C'est très rare dans l'histoire des mathématiques.
Leibniz a non seulement inventé le binaire, mais lui a également donné des connotations religieuses. Il écrit au prêtre jésuite français Joachim Bouvet (1662-1732) qui prêchait en Chine à cette époque :
« Le début du premier jour est 1, qui est Dieu. Le début du deuxième jour était 2.... Au septième jour, tout était là. Par conséquent, ce dernier jour était aussi le plus parfait. temps, tout dans le monde a été créé. Il a donc été écrit comme « 7 », qui est « 111 » (111 en binaire est égal à 7 en décimal), et ne contient pas 0. Seulement lorsque nous utilisons uniquement 0 et 1 pour exprimer ce nombre, nous pouvons comprendre pourquoi le septième jour est le plus parfait, pourquoi 7 est un nombre sacré. Ce qui est particulièrement remarquable est sa caractéristique (le septième jour) (écrit en binaire 111) et sa connexion à la Trinité.
Bu Wei est un maître de sinologie, et son introduction à la Chine est l'une des raisons les plus importantes de l'engouement de la Chine dans les cercles universitaires européens aux 17e et 18e siècles. Bouvier est un bon ami de Leibniz et a entretenu une correspondance fréquente avec lui. Leibniz a traduit de nombreux articles de Bouvier en allemand et les a publiés. C'est Bouvier qui a introduit les Zhouyi et le système des commérages à Leibniz, et a expliqué le statut d'autorité des Zhouyi dans la culture chinoise.
Le Bagua est un système de divination composé de huit groupes de symboles, et ces symboles sont divisés en lignes horizontales continues et discontinues. Ces deux symboles, appelés plus tard « yin » et « yang », aux yeux de Leibniz, sont la version chinoise de son système binaire. Il a estimé que la relation entre ce système de symboles de la culture chinoise ancienne et son système binaire était trop évidente, alors il a affirmé que le système binaire est le langage logique le plus universel et le plus parfait au monde.
Une autre personne qui pourrait éveiller l'intérêt de Leibniz pour les potins est Wilhelm Ernst Tentzel, qui était le chef de la salle de collection de pièces du grand-duc de Turingen et de Leibniz, l'un de ses amis. Il y a une pièce imprimée avec des symboles de potins dans la collection de pièces dont il est responsable.
Bagua et Binaire
Aujourd'hui, il existe un consensus général dans les cercles universitaires occidentaux : il n'y a pas de relation directe entre le Bagua et le Binaire. Tout d'abord, le système numérique de la Chine est décimal. Deuxièmement, selon les données historiques dont nous disposons aujourd'hui, sous les dynasties Qin et Han, la Chine n'a pas encore le concept de « zéro » au sens binaire de Leibniz.
S'il est dit que le yin et le yang métamorphosant toutes choses dans la partie cohésive de Zhouyi est ce que Leibniz a dit que 0 et 1 sont la source de toutes choses, cela est difficile à établir. L'édition actuelle de Zhouyi peut être grossièrement divisée en trois parties, la première est l'hexagramme, la seconde est le Yao, et la troisième est la biographie, les "Dix Ailes". Parmi eux, la partie de l'hexagramme devrait être la plus ancienne. À partir de documents pré-Qin tels que Shang Shu, Zhou Li, Zuo Zhuan, Guo Yu et de fouilles archéologiques ultérieures, nous avons une compréhension préliminaire de la divination des tortues dans les premières années de la dynastie Zhou occidentale. Cependant, nous n'avons pratiquement aucune information détaillée et fiable sur "Ib". Les hexagrammes de Zhouyi pourraient être le "yixiang" vu par Han Xuanzi. Dans tous les cas, nous ne pouvons pratiquement pas voir l'ombre du yin et du yang dans les hexagrammes et les lignes. Le système du yin et du yang est essentiellement développé et décrit dans le Yi Zhuan, bien que son origine doive être antérieure au Yi Zhuan. Et "Yi Zhuan" est évidemment un système décimal. A travers les archives de "Han Shu·Lv Li Zhi", nous pouvons non seulement savoir qu'à l'époque de Zhouyi, le calcul du calendrier utilisait le système décimal, et le nombre clé n'est pas 1, encore moins 0, mais 2 (yin, Yang) et 3 (Ciel, Terre, Homme). (Voir mon livre « Confucian Love for Mathematical Geometry »)
De plus, le concept important « rien » dans le système de philosophie taoïste n'a aucun rapport direct avec le zéro de Leibniz. Russell a expliqué "0" dans "Le Tao de la philosophie mathématique" comme : toutes les classes sans molécules. C'est exactement le "zéro" dans l'esprit de Leibniz. L'explication de Russell a été inspirée par le livre Grundlage der Arithmetik ("Les bases de l'arithmétique") du célèbre philosophe de langue allemande Gottlob Frege (1848-1925). Le « zéro » dans le système de théorie des nombres de Flagg et Russell est remplacé par le chinois, qui est le terme général pour tout « rien ». Le "rien" dans la philosophie du Tao n'est pas mais pas la somme de nombreux "riens", mais ce "rien" particulier est l'essence de ce "Tao".
Pour le dire simplement, au cours des trois cents ans écoulés depuis Leibniz, les scientifiques et les philosophes occidentaux ont effectué d'innombrables études, et ils n'ont trouvé aucun lien substantiel entre le binaire et les potins. En Chine, au-dessous des dynasties Qin et Han, mis à part les efforts pour établir un système philosophique utilisant des explications spéciales des commérages, nous ne pouvons fondamentalement pas voir d'explication convaincante pour cela.
Nombre binaire
introduction
Le binaire est un système de numération largement utilisé en informatique. Les nombres binaires sont des nombres représentés par deux chiffres, 0 et 1. Sa base est 2, la règle de retenue est "tous les deux entrent un", et la règle d'emprunt est "emprunter un pour devenir deux". Les nombres binaires utilisent également le comptage de position, et leur poids de position est une puissance de 2 comme base. Par exemple, pour le nombre binaire 110.11, l'ordre du poids des bits est 4, 2, 1, 2 -1 , 2 -2 .
Représentation
Pour un nombre binaire avec des nombres entiers à n chiffres et des nombres décimaux à m chiffres, il est exprimé par une expansion de coefficient pondérée, qui peut s'écrire sous la forme :
(N)2= a n-1 ×2 n-1 +a n-2 ×2 n-2 +…… +a 1 ×2 1 +a 0 ×2 0 +a -1 ×2 -1 +a - 2 ×2 -2 +……+a -m ×2 -m
Dans la formule, aj représente le coefficient de la jème position, qui est un nombre compris entre 0 et 1.
Les nombres binaires peuvent généralement être écrits comme : (a n-1 a n-2 ...a 1 a 0 a -1 a -2 ...a -m ) 2 .
Exemple de solution
[Exemple 1] Écrivez le nombre binaire 111.01 sous forme de coefficient de pondération.
Solution : (111.01) 2 =1×2 2 +l×2 1 +1×2 0 +1×2 -2
addition et multiplication
Les lois de base du fonctionnement arithmétique des nombres binaires et du fonctionnement des nombres décimaux sont très similaires. Les opérations d'addition et de multiplication sont les plus couramment utilisées.
Addition binaire
Il y a quatre cas : 0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=0 Porter à 1
[Exemple 2] Trouver (1101) 2 + (1011) 2 Somme
Résolution : 1 1 0 1
+ 1 0 1 1
1 1 0 0 0
Multiplication binaire h3>
Il y a quatre cas : 0×0=0
1×0=0
0×1=0
1×1= 1
[Exemple 3] Trouvez le produit de (1110) 2 multiplié par (101) 2
Résolution : 1 1 1 0
× 1 0 1
1 1 1 0
0 0 0 0
+ 1 1 1 0
1 0 0 0 1 1 0
Pensée de valeur de position
Les chiffres indiens-arabes actuels utilisés pour le comptage utilisent le principe du système de valeur décimale. Parmi eux, le système décimal est influencé par des phénomènes naturels, et il est reconnu qu'il est lié aux dix doigts de la vie ; tandis que le système de valeur de position est un produit subjectif. En repensant à l'histoire de la notation, nous pouvons constater que l'importance du système de valeurs de position dans le comptage est bien plus grande que celle du système décimal. Il était autrefois comparé à l'importance des lettres dans les mots par les historiens des mathématiques. Il existe de nombreuses façons d'exprimer la valeur de position, et son processus de formation est également long.
L'idée de la valeur de position dans la notation est que le symbole du code exponentiel a non seulement la taille du nombre qu'il est censé représenter, mais dépend également de son emplacement pour déterminer la valeur exacte du nombre dans le nombre entier. Par exemple, Inde-le nombre arabe 121, le nombre 1 à droite représente le nombre 1, le 2 au milieu représente 20 car il est à la 10ème place, et le même nombre 1 à gauche représente 100 car il est sur la place des centaines. Chaque chiffre est combiné par addition, et le nombre entier représente cent vingt et un. Un autre exemple est le chiffre romain . Le Ⅴ à droite représente 5 et le I à gauche représente -1. Les nombres sont également combinés par addition, et le nombre entier représente 4.
L'Inde prévaut maintenant --- Les chiffres arabes utilisent la notation décimale, et tout nombre naturel peut être exprimé sous la forme n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ……+ a 1 ·10 + a 0 Forme. 10 s'appelle la base de retenue, un 0 , un 1 , …, un n vaut 1, 2, …,9 ,0 ces 10 chiffres L'un d'eux. Le système dit de valeur de position consiste à omettre la puissance 10 et le signe plus lors de l'écriture. Comme ci-dessus, 121 est un raccourci pour 1·10 2 + 2·10 + 1. Sa caractéristique est que tout nombre naturel ne peut être exprimé que par ces 10 chiffres. En comptant à partir de la droite, la position du nombre s'appelle la place des unités, la place des dizaines, la place des centaines et ainsi de suite. La valeur qu'un nombre représente dépend de sa position. C'est le sens de "valeur de position" (valeur de position ou valeur positionnelle).
Dans la notation ancienne, le système de valeur de position est principalement la notation cunéiforme babylonienne, la notation maya, la notation arithmétique chinoise et la notation numérique indo-arabe. Parmi eux, Babylon utilise un comptage de 60 retenues, Maya a un comptage mixte de 20 et 18 retenues, et les puces arithmétiques chinoises et indiennes --- Les nombres arabes utilisent tous deux 10 retenues. Les Mayas comptent de bas en haut, et le bas est le chiffre des unités, plus le chiffre est haut, plus le chiffre est haut ; le reste de la notation du système de valeur de position consiste à augmenter les chiffres de droite à gauche. Bien que la base de retenue et l'arrangement des nombres ne soient pas les mêmes, ils sont tous cohérents dans la signification de la valeur de position, ce qui reflète le caractère commun du développement des mathématiques humaines.