Les équations de Maxwell (en anglais : équations de Maxwell) sont un ensemble d'équations aux dérivées partielles qui décrivent la relation entre le champ électrique, le champ magnétique, la densité de charge et la densité de courant. Cet ensemble d'équations se compose de quatre équations, à savoir la loi de Gauss qui décrit comment les charges électriques génèrent des champs électriques, la loi magnétique de Gauss qui montre que les monopôles magnétiques n'existent pas, la loi d'induction de Faraday qui explique comment les champs magnétiques variant dans le temps produisent des champs électriques, et explique la loi de Maxwell-Ampère actuelle et variable dans le temps sur la façon dont un champ électrique produit un champ magnétique. Les équations de Maxwell portent le nom du physicien britannique James Maxwell. Maxwell a conçu une première forme de ce système d'équations dans les années 1860.
Différentes formes des équations de Maxwell sont utilisées dans différents domaines. Par exemple, en physique des hautes énergies et en physique gravitationnelle, la version des équations de Maxwell exprimées dans l'espace-temps est généralement utilisée. Cette expression est basée sur le concept d'espace-temps d'Einstein, qui combine le temps et l'espace, plutôt que sur le concept newtonien d'espace-temps absolu, qui s'affiche indépendamment de l'espace tridimensionnel et du temps quadridimensionnel. La représentation d'Einstein du temps et de l'espace est clairement conforme à la théorie de la relativité restreinte et à la théorie de la relativité générale. En mécanique quantique, la version des équations de Maxwell basée sur le potentiel électrique et le potentiel magnétique est plus populaire.
Depuis le milieu du 20e siècle, les physiciens ont compris que les équations de Maxwell ne sont pas des lois précises. Une description précise nécessite l'aide de la théorie de l'électrodynamique quantique qui peut mieux montrer le fondement physique sous-jacent, et les équations de Maxwell ne sont que l'une d'entre elles. La théorie classique des champs est approximative. Néanmoins, pour la plupart des cas impliqués dans la vie quotidienne, la différence entre la solution obtenue par les équations de Maxwell et la solution exacte est très faible. Pour la lumière non classique, la diffusion à deux photons, l'optique quantique et de nombreux autres phénomènes liés aux photons ou aux photons virtuels, les équations de Maxwell ne peuvent pas donner une solution proche de la situation réelle.
Des équations de Maxwell, on peut déduire que les ondes lumineuses sont des ondes électromagnétiques. Les équations de Maxwell et les équations de la force de Lorentz sont les équations de base de l'électromagnétisme classique. Grâce à cet ensemble d'équations de base et de théories associées, de nombreuses technologies électriques et électroniques modernes ont été inventées et développées rapidement.
introduction
Les équations de Maxwell sont composées de quatre équations aux dérivées partielles linéaires du premier ordre. Bien que le premier ordre et linéaire soient tous deux de bonnes propriétés mathématiques, sauf dans les cas avec un degré élevé de symétrie, sa solution analytique n'est généralement pas trouvée, donc des méthodes numériques doivent être utilisées pour trouver sa solution numérique. Mais puisque l'électrodynamique est une théorie linéaire, elle peut être résolue par le principe de superposition.
La loi de Gauss
La loi de Gauss décrit comment les champs électriques sont générés par des charges électriques. Les lignes de champ électrique commencent par des charges positives et se terminent par des charges négatives. A partir de l'estimation du nombre de lignes de champ électrique traversant une surface fermée donnée, c'est-à-dire le flux électrique, la charge totale contenue dans la surface fermée peut être connue. Plus en détail, la loi décrit la relation entre le flux électrique traversant une surface fermée arbitraire et la quantité de charge dans la surface fermée.
Selon la loi magnétique gaussienne, les lignes de champ magnétique n'ont pas de point initial ni de point final, mais forment une boucle ou s'étendent à l'infini. Le diagramme schématique montre les lignes de champ magnétique formées par le courant circulant dans le conducteur toroïdal.
loi magnétique gaussienne
La loi magnétique gaussienne montre que le monopôle magnétique (charge magnétique) n'existe pas dans l'univers. En termes d'expériences, les physiciens n'ont pas encore trouvé de preuves claires de l'existence de monopôles magnétiques. Le champ magnétique généré par la matière est généré par une configuration appelée dipôle. Le dipôle magnétique est mieux représenté par une boucle de courant. Un dipôle magnétique est comme une charge magnétique positive et une charge magnétique négative qui sont inséparablement liées, et sa charge magnétique nette est nulle. Les lignes de champ magnétique n'ont ni point initial ni point final. Les lignes de champ magnétique boucleront ou s'étendront à l'infini. En d'autres termes, les lignes de champ magnétique qui pénètrent dans n'importe quelle zone doivent également quitter cette zone. En termes, le flux magnétique traversant toute surface fermée est égal à zéro et le champ magnétique est un champ vectoriel en spirale.
La loi d'induction de Faraday
La loi d'induction de Faraday décrit comment un champ magnétique variant dans le temps génère (induit) un champ électrique. L'induction électromagnétique est le principe de fonctionnement de nombreux générateurs. Par exemple, une barre aimantée rotative génère un champ magnétique variable dans le temps, qui à son tour génère un champ électrique, provoquant l'induction de courant par la boucle fermée adjacente.
La loi de Maxwell-Ampère
La loi de Maxwell-Ampere stipule qu'un champ magnétique peut être généré de deux manières : l'une est générée par le courant électrique (la méthode décrite à l'origine par la loi d'Ampère), et l'autre Il est produit par le champ électrique qui change avec le temps (la méthode décrite par le terme de correction de Maxwell). En électromagnétisme, le terme de correction de Maxwell signifie qu'un champ électrique variant dans le temps peut générer un champ magnétique, et en raison de la loi d'induction de Faraday, un champ magnétique variant dans le temps peut générer un champ électrique. De cette façon, si le champ électrique variant dans le temps produit un champ magnétique changeant, selon ces deux équations, les champs électriques et magnétiques générés mutuellement (c'est-à-dire les ondes électromagnétiques) continueront à se propager dans l'espace par eux-mêmes (pour plus de détails, veuillez vous référer à l'article Équation des ondes électromagnétiques).
Résumé des équations
Voici deux expressions équivalentes des équations de Maxwell : la micro-représentation et la macro-représentation.
L'expression microscopique calcule spécifiquement les champs électriques et magnétiques générés par des charges de source finies et des courants de source finis à l'échelle atomique dans le vide. La matière peut être considérée comme composée d'électrons ponctuels et de noyaux atomiques ponctuels, et la plupart des autres espaces à l'intérieur sont du vide. Cependant, en raison du grand nombre d'électrons et de noyaux, en pratique, ils ne peuvent pas être inclus dans le calcul. En fait, l'électromagnétisme classique ne nécessite pas de réponses trop précises. L'utilisation des équations microscopiques de Maxwell a deux objectifs principaux. L'une consiste à dériver les équations macroscopiques de Maxwell et l'autre à estimer les paramètres macroscopiques du matériau à partir des propriétés atomiques, telles que la permittivité, la perméabilité magnétique, etc. La micro-expression peut donner beaucoup d'informations précieuses que la macro-expression ne peut pas.
L'expression macro ne prend pas en compte la structure atomique de la substance, mais considère la substance comme un milieu continu dont les propriétés sont déterminées par les paramètres macroscopiques de la substance tels que la permittivité et la perméabilité magnétique. A partir d'expériences, nous pouvons obtenir la relation entre les paramètres macroscopiques du matériau et la nature, la densité, la température, etc. du matériau. Les équations macroscopiques de Maxwell peuvent être utilisées pour prédire les propriétés moyennes des particules chargées, des champs électriques et magnétiques. L'utilisation de cette expression facilitera divers calculs physiques dans les substances diélectriques ou magnétisées.
En utilisant différents systèmes d'unités, la forme des équations de Maxwell sera légèrement modifiée et la forme générale est toujours la même, mais différentes constantes apparaîtront à différentes positions dans l'équation. Le système international d'unités (SI) est le système d'unités le plus couramment utilisé, qui est principalement utilisé dans les domaines de l'ingénierie et de la chimie, et presque tous les manuels de physique des collèges utilisent également ce système d'unités. Les autres systèmes unitaires couramment utilisés sont Gauss, Lorenz-Heaviside et Planck. Le système d'unités de Gauss dérivé du système centimètre-gramme-seconde est plus approprié à des fins d'enseignement et peut rendre les équations plus simples et plus faciles à comprendre. Le système d'unités de Gauss sera élaboré ultérieurement. Le système d'unités Lorenz-Heaviside est également dérivé du système centimètre-gramme-seconde et est principalement utilisé en physique des particules. Le système d'unités de Planck est un système d'unités naturel, et ses unités sont définies en fonction de la nature de la nature, non fixées par les humains. Le système d'unités de Planck est un outil très utile pour l'étude de la physique théorique et peut donner un grand éclairage dans les discussions théoriques.
Dans cette entrée, sauf indication contraire, toutes les équations sont dans le système international d'unités.
Les équations de Maxwell dans le vide
Cette forme d'équations de Maxwell est également appelée « équations de Maxwell micro », qui peuvent être utilisées pour dériver les équations de Maxwell macro, ou utilisées pour trouver la relation entre les propriétés atomiques et les propriétés macroscopiques.
Micro-échelle et macro-échelle
En électromagnétisme classique, la micro-échelle fait référence à la plage d'échelle de l'ordre de grandeur supérieur à 10 mètres. Pour atteindre l'échelle microscopique, les électrons et les noyaux peuvent être considérés comme des charges ponctuelles, et les équations de Maxwell microscopiques sont établies ; sinon, la répartition des charges à l'intérieur du noyau doit être prise en considération. Le champ électrique et le champ magnétique calculés à l'échelle microscopique changent encore assez radicalement, la distance du changement spatial est inférieure à 10 mètres et la période du changement de temps est comprise entre 10 et 10 secondes. Par conséquent, à partir des équations de Maxwell microscopiques, l'opération de moyennage classique doit être effectuée pour obtenir le champ électrique macroscopique et le champ magnétique macroscopique lisses, continus et à évolution lente. La limite la plus basse de la macro-échelle est de 10 mètres. Cela signifie que le comportement de réflexion et de réfraction des ondes électromagnétiques peut être décrit par les équations macro-Maxwell. En prenant cette limite minimale comme longueur de côté, un cube d'un volume de 10 mètres cubes contient environ 10 noyaux et électrons. Le comportement physique de tant de noyaux et d'électrons, après moyennage classique, suffit à lisser les fluctuations violentes. Selon des documents fiables de la littérature, l'opération de moyennage classique ne nécessite qu'un moyennage dans l'espace, pas dans le temps, et n'a pas besoin de prendre en compte les effets quantiques des atomes.
La moyenne classique est un programme de moyenne relativement simple. Étant donné une fonction, la moyenne spatiale de cette fonction est définie comme
Parmi eux, c'est l'opération moyenne L'espace est une fonction de poids.
De nombreuses fonctions peuvent être sélectionnées comme d'excellentes fonctions de pondération, la fonction gaussienne n'est qu'un exemple :
Les premières équations de Maxwell et les théories associées sont macroscopiques. La conception matérielle est une sorte de phénoménologie. A cette époque, les physiciens ne connaissaient pas la cause fondamentale des phénomènes électromagnétiques. Plus tard, selon les particules de matière, les équations microscopiques de Maxwell ont été dérivées. Dans la première moitié du XXe siècle, les percées et les développements dans les domaines de la mécanique quantique, de la relativité et de la physique des particules, combinés à leurs nouvelles théories et aux équations microscopiques de Maxwell, sont devenus la pierre angulaire de l'établissement de l'électrodynamique quantique. C'est la théorie la plus précise en physique, et les résultats calculés peuvent correspondre avec précision aux données expérimentales.
Propriétés mathématiques
Les équations de Maxwell sont comme un ensemble surdéterminé : elle ne fait intervenir que six inconnues (champ électrique vectoriel et champ magnétique ont chacun trois inconnues, courant et charge ne sont pas des inconnues, c'est une grandeur physique qui est librement fixée et conforme à la conservation de la charge), mais il est composé de huit équations (deux lois de Gauss ont deux équations, et la loi de Faraday et la loi de Maxwell-Ampère ont trois équations chacune). Après une analyse minutieuse, vous pouvez comprendre que ce n'est en fait pas si simple.
Les équations des équations de Maxwell ont une "indépendance" - à partir d'une ou plusieurs équations dans les équations, aucune autre équation dans les équations ne peut être dérivée. Cela signifie que les équations de Maxwell ne sont pas surdéterminées et qu'il n'y a pas d'équations qui répètent des fonctions. La combinaison des équations de Maxwell, des équations de force de Lorentz et de la deuxième loi du mouvement de Newton est "complète". Ils peuvent expliquer tous les phénomènes de l'électrodynamique classique sans utiliser d'autres équations. Dans un certain domaine, étant donné les conditions initiales et aux limites appropriées, la solution des équations de Maxwell est "unique", c'est-à-dire que chaque variable dépendante ne peut avoir qu'une forme fonctionnelle, et elle ne contient que des constantes ou des variables indépendantes, et ne contient aucune autre variables dépendantes.
La loi de Faraday et la loi de Maxwell-Ampere dominent conjointement l'évolution des champs électromagnétiques dans l'espace au cours du temps, tandis que la loi de Gauss et la loi magnétique de Gauss sont des équations de contraintes. Les champs électromagnétiques doivent s'y conformer en tout temps et en tout espace. Deux équations de contraintes. En théorie, on peut supposer qu'un certain champ électromagnétique obéit à la loi de Faraday et à la loi de Maxwell-Ampere dans tous les espaces. Au contraire, s'ils ne respectent pas la loi de Gauss et la loi magnétique de Gauss, ils ne peuvent pas réellement exister dans le monde réel. En d'autres termes, la loi de Faraday et la loi de Maxwell-Ampère donneront des solutions supplémentaires, qui ne respectent pas les contraintes de la loi de Gauss et de la loi magnétique de Gauss.
Décrire les propriétés électromagnétiques de la matière
Charge liée et courant lié
Article principal: densité de courant, charge liée et courant lié
Un groupe de dipôles électriques microscopiques, le champ électrique généré par eux peut être considéré comme le champ électrique généré par les charges de surface situées respectivement en haut et en bas. Un groupe de micro boucles de courant forment ensemble une macro boucle de courant. Si les micro boucles de courant sont uniformément réparties, les contributions des boucles de courant situées à l'intérieur s'annuleront, mais les boucles de courant situées sur la frontière ne seront pas annulées, donc une macro boucle de courant sera formée.
Supposons qu'un champ électrique externe soit appliqué au diélectrique. En appliquant ce champ électrique, les molécules du diélectrique forment un dipôle électrique microscopique, qui s'accompagne d'un moment dipolaire électrique. Le noyau de la molécule se déplacera légèrement dans la direction du champ électrique, tandis que l'électron se déplacera légèrement dans la direction opposée. Cela forme la polarisation électrique du diélectrique. Bien que toutes les charges impliquées soient toujours liées à leurs molécules d'origine, la distribution des charges causée par ces minuscules migrations devient comme si une fine couche de charges de surface positives se formait d'un côté du diélectrique, puis de l'autre côté. Une fine couche de charge de surface négative. La polarisation électrique est définie comme la densité de moment dipolaire électrique à l'intérieur du diélectrique, c'est-à-dire le moment dipolaire électrique par unité de volume. Dans le diélectrique, en supposant que l'intensité de polarisation électrique soit uniforme, la charge liée à la surface macroscopique n'apparaîtra qu'à la surface du diélectrique, c'est-à-dire là où elle entre ou sort du diélectrique; sinon, s'il n'est pas uniforme, les charges diélectriques liées apparaîtront également à l'intérieur de la masse.
Quelque chose de similaire à l'électrostatique est qu'en magnétostatique, on suppose qu'un champ magnétique externe est appliqué à une substance. En réponse à cette action, la substance sera magnétisée et la composante atomique montrera un moment magnétique. Essentiellement, ce moment magnétique est lié au moment angulaire de chaque particule subatomique de l'atome. Parmi eux, la réponse la plus notable est l'électronique. Ce lien de moment angulaire ne peut que rappeler une image dans laquelle la matière magnétisée devient un groupe de boucles de courant liées microscopiques. Bien que chaque charge ne se déplace que dans les circuits microscopiques de ses atomes, un groupe de circuits de courant liés microscopiques se rassemble pour former un courant lié macroscopique circulant à la surface de la substance. Ces courants liés peuvent être décrits par magnétisation. L'intensité de l'aimantation est définie comme la densité du moment dipolaire magnétique dans une substance magnétisée, c'est-à-dire le moment dipolaire magnétique par unité de volume.
Le comportement physique de ces charges liées et courants liés très complexes et grossiers peut être exprimé en termes de polarisation électrique et d'aimantation à l'échelle macroscopique. La polarisation électrique et l'aimantation moyennent respectivement ces charges liées et ces courants liés dans l'espace avec des échelles appropriées. De cette façon, la structure rugueuse inégale formée par des atomes individuels peut être supprimée, mais les propriétés physiques selon lesquelles l'intensité varie avec la position peuvent être montrées. Étant donné que tous les champs de vecteurs impliqués ont été moyennés dans le volume approprié, les équations macro-Maxwell ignorent de nombreux détails à l'échelle micro. Cependant, ces détails peuvent ne pas être importants pour comprendre les propriétés à l'échelle macro de la matière.