Définition
Les équations linéaires n-aires dont les termes constants sont tous 0
sont appelées équations linéaires homogènes n-aires. Supposons que la matrice de coefficients soit A et que l'élément inconnu soit X, alors la forme matricielle est AX=0. Si le nombre de lignes non nulles de la matrice en échelle de lignes transformée par la transformation élémentaire de ligne de sa matrice de coefficients est r, la solution de son système d'équations n'a que les deux types suivants :
Quand r=n Quand, les équations originales n'ont que des solutions nulles ;
Quand r
Prouver
La matrice de coefficients des équations sous-linéaires alignées est transformée en un type échelle par transformation élémentaire de ligne Après la matrice, le nombre de lignes r (c'est-à-dire le rang de la matrice) qui n'est pas toutes nulles est inférieur ou égal à m ( le nombre de lignes de la matrice). Valeur, de sorte que le système d'équations d'origine a des solutions non nulles (une infinité de solutions).
Exemple
D'après le théorème n=4>m=3, il doit y avoir une solution non nulle.
Effectuez une transformation de ligne élémentaire sur la matrice de coefficients :
La dernière matrice est la forme la plus simple, et le système d'équation linéaire homogène de cette matrice de coefficients est :
Soit X4 des variables libres, X1, X2 et X3 sont les premières variables.
Soit X4=t, où t est un nombre réel quelconque, et la solution des équations linéaires homogènes originales est.
Théorème du jugement
Théorème 1
La condition nécessaire et suffisante pour que les équations linéaires homogènes aient des solutions non nulles est r(A)
Corollaire
La condition nécessaire et suffisante pour que des équations linéaires homogènes n'aient que des solutions nulles est r(A)=n.
Structure
Les propriétés de la solution d'équations linéaires homogènes
Théorème 2 Si x est une solution d'équations linéaires homogènes, alors kx est aussi sa solution , Où k est une constante quelconque.
Théorème 3 Si x1, x2 sont deux solutions d'équations linéaires homogènes, alors x1+x2 est aussi sa solution.
Théorème 4 Aligner les équations sous-linéaires, si r(A)=r
il existe un système de solution de base, et le nombre de vecteurs contenus dans le système de solution de base est nr, qui est la dimension de l'espace de solution. Le nombre est nr.Étapes de la solution
1. Effectuez une transformation de ligne élémentaire sur la matrice de coefficients A et transformez-la en une matrice en échelle de lignes ;
2, si r(A)=r=n (Le nombre d'inconnues), les équations d'origine n'ont que des solutions nulles, c'est-à-dire x=0, la solution se termine ;
Si r(A)=r
3, passez à La matrice de coefficients A est transformée en la matrice de lignes la plus simple et les équations avec la même solution sont écrites ;
4. Sélectionnez les inconnues libres appropriées, prenez les ensembles de vecteurs de base correspondants et substituez-les dans les équations avec la même solution pour obtenir le système de solution de base du système d'équations d'origine, puis écrivez la solution générale.
Propriétés
1. La somme des deux solutions des équations linéaires homogènes est toujours l'une des équations linéaires homogènes Assembler.
2. Les k fois de la solution des équations linéaires homogènes sont toujours la solution des équations linéaires homogènes.
3. Le rang de la matrice de coefficients du système d'équations linéaire homogène est r(A)=n, et le système d'équations a une unique solution nulle.
Le rang r(A) de la matrice de coefficients d'un système d'équation linéaire homogène
4. La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système d'équations linéaires homogènes n-aires ait une solution non nulle est que son coefficient déterminant soit nul. De manière équivalente, la condition nécessaire et suffisante pour que le système d'équations ait une unique solution nulle est que la matrice de coefficients ne soit pas nulle. (Loi de Clém)